从状态到循环：工程热力学九章复习笔记

工程热力学是我这学期最像“另一门语言”的课。第一章刚记住系统、边界和状态参数，第二章就摆出一串 Q、W、ΔU、ΔH；第三章开始算过程，第四章忽然转去讨论“能不能发生”；再往后，水蒸气、朗肯循环、制冷、湿空气，每一章都像换了一个话题。

后来我把十份课件从头到尾理了一遍，才发现它其实一直在回答四个问题：

1. 系统现在处于什么状态？
2. 经历一个过程，能量怎么记账？
3. 这个过程能不能发生，最多能做多少功？
4. 把过程首尾相接，怎样把热变成功，或者把功变成冷？

这四个问题分别对应状态描述、能量守恒、方向与极限、循环计算。把这条线抓住，公式就不再是散落的卡片。

先把地图摊开

要回答的问题	对应章节	主要工具
怎么描述状态	第 1、3、6、9 章	系统、状态参数、理想气体状态方程、水蒸气表、湿空气参数
能量怎么守恒	第 2 章	闭口系、开口系、稳流能量方程、焓、四种功
过程往哪走	第 4 章	第二定律、卡诺定理、熵、熵产、㶲
怎么接成循环	第 5、7、8 章	内燃机循环、燃气轮机循环、朗肯循环、制冷循环

后面的章节安排基本按这个顺序展开。每章先列核心公式，再完整解一道典型题，其余题目只讲思路，最后列几个容易踩的坑。

记号先约定好：$q$、$w$ 是单位质量工质吸收的热量和对外做的功，$Q$、$W$ 是总量；系统吸热为正，对外做功为正；$p$ 一律是绝对压力，$T$ 一律是热力学温度。热力学里相当一部分错误，来自这三个约定没有统一。

第 1 章 基本概念：先选系统，再谈别的

第一章的幻灯片看起来最碎：系统、边界、平衡、准静态、可逆、功、热、熵、循环。其实它们在回答同一个问题：你研究的对象是什么，它和外界交换什么。

系统是人为划定的

锅炉只交换热，汽轮机只交换功，凝汽器既交换热也交换功。同一个电厂，取不同的设备做系统，边界上出现的项就不一样。

取系统没有唯一答案，取法取决于你想算什么。第二章的充气题会把这一点演得很清楚：取储气罐为系统是开口系，取最终罐内气体为系统是闭口系，两种算法得到同一个结果，但方程的复杂程度差很多。

几个分类要能脱口而出：闭口系不传质，开口系传质；绝热系不传热，孤立系不传热、不传功、不传质。开口系加上相关外界，就构成一个孤立系。这句话在第二定律里还会用到。

状态参数：只认绝对压力

状态参数有两条硬特征：状态一定，参数一定；参数的变化只与初终态有关，与路径无关。数学上它是点函数，微分是全微分。

压力是第一个坑。表压 $p_e=p-p_b$，真空度 $p_v=p_b-p$，它们都是相对于环境压力的读数，只有绝对压力 $p$ 才是状态参数，也只有绝对压力能代入状态方程。压力表读数不变，不代表工质压力不变——环境压力变了，表压也会跟着变。我一开始做题时，看到 0.5 MPa 就直接往状态方程里代，完全没注意题目给的是表压；后来养成习惯，先把所有压力换成绝对压力，再动笔。

温度用热力学温度 $T$，单位 K；比容 $v=1/\rho$，单位 $\mathrm{m^3/kg}$。这三个基本状态参数里，$p$ 和 $T$ 是强度参数，$v$ 是比参数；$U$、$H$、$S$ 是广延参数，$u$、$h$、$s$ 是比参数。比参数具有强度参数的性质，不随物质的量变化。

平衡、准静态、可逆

平衡的本质是不存在不平衡势：温差、压差、相变、化学势差。稳定不一定平衡，因为系统可能靠着外界维持一个不随时间变化的状态；平衡一定稳定。平衡是时间上的概念，均匀是空间上的概念，单相平衡态一定均匀。

准静态过程是“随时接近平衡”的过程。工程判据是：外部作用时间远大于系统恢复平衡的弛豫时间。活塞式内燃机 2000 转/分，活塞速度约 10 m/s，压力波恢复平衡的速度是声速 350 m/s，所以工程上很多过程可以按准静态处理。

可逆过程 = 准静态过程 + 无耗散效应。摩擦、电阻、非弹性变形、节流、自由膨胀、不同温度的传热、两种气体的混合，都会留下耗散或不可逆的痕迹。可逆过程不是“必须回到初态的过程”，而是“如果让系统回到初态，外界也能同时复原、不留痕迹”的过程。

判断时先看有没有不平衡势，再看有没有耗散。缓慢加热水，以水为系统是准静态；如果活塞和缸壁有摩擦，以水加活塞为系统就不可逆；用搅拌器加热，无论多慢都不可逆，因为电功或机械功变成了热。

功和热都是过程量

准静态下，容积变化功是

$$w=\int_{1}^{2} p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v.$$

这个式子只适用于准静态过程。不可逆过程中系统内部压力不均匀，不能用系统内部的 $p$ 去积分；如果取环境为系统，边界上的压力均匀，可以用环境压力算外界得到的功，但那不等于系统内部的实际做功。

可逆过程中，热量可以写成

$$q=\int_{1}^{2} T\hspace{0.17em}\mathrm{d}s.$$

所以 $p$-$v$ 图上的面积代表功，$T$-$s$ 图上的面积代表热。功和热都是过程量，路径不同，数值不同；内能、焓、熵是状态量，只看初终态。

循环的净功是 $p$-$v$ 图围成的面积：正循环顺时针，净功为正，热效率

$$\eta_t=\frac{w_{\text{net}}}{q_1};$$

逆循环逆时针，净功为负，制冷系数

$$\varepsilon=\frac{q_2}{w_{\text{net}}}.$$

典型题：1-14 和 1-16

1-14：系统压力随容积的变化满足 $pV^{1.3}=\text{常数}$，初态 $p_1=600\ \mathrm{kPa}$、$V_1=0.3\ \mathrm{m^3}$，膨胀到 $V_2=0.5\ \mathrm{m^3}$，求膨胀功。

先求终态压力：

$$p_2=p_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{1.3}=600\times\left(\frac{0.3}{0.5}\right)^{1.3}=308.9\ \mathrm{kPa}.$$

多变过程的功为

$$W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{n-1}
=\frac{600\times0.3-308.9\times0.5}{1.3-1}
=85.3\ \mathrm{kJ}.$$

结果是正的，说明气体膨胀、对外做功。如果过程反过来，从 $0.5\ \mathrm{m^3}$ 压缩到 $0.3\ \mathrm{m^3}$，功就是 $-85.3\ \mathrm{kJ}$，大小相同、符号相反。

1-16：$1\ \mathrm{kg}$ 气体在 $p$-$v$ 图上从 $A(p_1,v_1)$ 沿直线到 $B(p_2,v_2)$，再定容到 $C$，最后定压回到 $A$。求循环净功；如果按 $A\to C\to B\to A$ 走，净功怎么变。

直线 $AB$ 下的面积是梯形，$B\to C$ 定容不做功，$C\to A$ 定压做负功。三项相加，净功正好是三角形面积：

$$w_{\text{net}}=\frac{1}{2}(p_2-p_1)(v_2-v_1).$$

反向走，面积大小不变，符号相反：

$$w_{\text{net}}’=-\frac{1}{2}(p_2-p_1)(v_2-v_1).$$

这道题不需要任何工质性质，只考“面积就是功”和“方向决定符号”。

1-13 更直接：定压膨胀 $W=p(V_2-V_1)=0.5\times10^6\times(0.8-0.4)=200\ \mathrm{kJ}$。1-7 的关键不在计算，而在先把表 A、表 B 的读数换成绝对压力，再判断真空室和 I、II 室的压力关系；顶面受力要用绝对压力差乘面积。

这一章最容易错的地方

• 把表压或真空度当成状态参数，代进 $pV=mRT$；
• 用摄氏度代进状态方程，忘记换成 K；
• 认为气体膨胀一定对外做功——真空自由膨胀没有做功对象；
• 把准静态当成可逆，忽略摩擦和耗散；
• 用 $\int p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v$ 算不可逆过程的实际功。

第 2 章 第一定律：一本能量账，三种写法

第一定律的表述只有一句：能量守恒。难的是在不同系统上把账记对。

闭口系：最基础的一本账

闭口系不传质，能量方程是

$$Q=\Delta U+W,\qquad q=\Delta u+w.$$

它对任何工质、任何过程都成立。内能是状态量，$U$ 是广延参数，$u$ 是比参数；内能的零点可以人为规定，所以只有 $\Delta u$ 有意义。

如果过程可逆，$w=\int p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v$，于是

$$q=\Delta u+\int p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v.$$

再结合可逆过程 $q=\int T\hspace{0.17em}\mathrm{d}s$，得到

$$T\hspace{0.17em}\mathrm{d}s=\mathrm{d}u+p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v.$$

这个式子后面算熵变会反复用。它的适用条件是简单可压缩系统、可逆过程，不要拿它去算不可逆过程。

开口系：多了推进功，就有了焓

开口系有质量进出，除了内能，还要把工质带进带出的推进功算进去。推进功是 $pv$，不是 $\int p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v$——工质在进出时容积没有变化，只是被外界推着走。

把推进功并进内能，就得到焓：

$$h=u+pv.$$

开口系能量方程的微分形式是

$$\delta Q+\delta m_{\text{in}}\left(u+pv+\frac{c^2}{2}+gz\right)_{\text{in}} -\delta m_{\text{out}}\left(u+pv+\frac{c^2}{2}+gz\right)_{\text{out}} -\delta W_{\text{net}}=\mathrm{d}E_{\text{cv}}.$$

稳定流动时，控制体内部能量不随时间变化，方程简化为

$$q=\Delta h+\frac{\Delta c^2}{2}+g\Delta z+w_s.$$

这里 $w_s$ 是轴功。工程上把动能、位能的变化并入技术功：

$$w_t=w_s+\frac{\Delta c^2}{2}+g\Delta z.$$

可逆稳流时，技术功还可以写成

$$w_t=-\int_{1}^{2} v\hspace{0.17em}\mathrm{d}p.$$

几种功的关系是

$$w=w_t+\Delta(pv),\qquad w_t=w_s+\frac{\Delta c^2}{2}+g\Delta z.$$

闭口系交换的是容积变化功 $w$，开口系交换的是轴功 $w_s$；一般情况下动能、位能变化可以忽略，$w_t\approx w_s$。

几个常用设备的简化结果要背下来：

设备	简化条件	结果
汽轮机、透平	绝热，忽略动能、位能变化	$w_s=h_1-h_2$
压气机、泵	绝热，忽略动能、位能变化	$w_s=h_2-h_1$
换热器	无轴功，忽略动能、位能变化	$q=h_2-h_1$
喷管	绝热，无轴功	$c_2=\sqrt{2\times1000(h_1-h_2)+c_1^2}$
节流阀	绝热，无轴功	$h_1=h_2$

节流过程焓不变，但熵增加，是典型的不可逆过程。不要把“焓不变”误当成“可逆”。喷管公式里 $h$ 用 $\mathrm{kJ/kg}$，所以根号内乘了 1000；如果 $h$ 用 $\mathrm{J/kg}$，就不需要这个因子。

充气和放气：进出来的是焓

充气问题的关键是：进入系统的气体带进来的是焓，不是内能。取储气罐为开口系，绝热充气时

$$\mathrm{d}U_{\text{cv}}=h\hspace{0.17em}\mathrm{d}m.$$

如果罐内原来是真空，积分后得到 $u’=h$：充进去的气体内能等于气源焓。如果罐内有原有气体，就要把开口系能量方程从初态积到终态，或者换一个闭口系来取。

放气问题相反：瓶内剩余气体在向外推气体，经历的是绝热膨胀。理想气体绝热放气时，瓶内剩余气体满足

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}.$$

这个式子在 3-13 里会用到。

典型题：2-18 燃气轮机装置

题目给了一个燃气轮机装置：压气机进口 $h_1=290\ \mathrm{kJ/kg}$，压缩后 $h_2=580\ \mathrm{kJ/kg}$；空气以 $c_2=20\ \mathrm{m/s}$ 进入燃烧室，定压吸热 $q=670\ \mathrm{kJ/kg}$；燃气经喷管绝热膨胀到 $h_{3’}=800\ \mathrm{kJ/kg}$，再进入动叶，动叶中燃气状态不变，离开动叶时 $c_4=100\ \mathrm{m/s}$。空气流量 $100\ \mathrm{kg/s}$，燃料发热量 $43960\ \mathrm{kJ/kg}$，忽略燃料质量对能量转换的影响。

（1）压气机耗功：

$$P_c=\dot m(h_2-h_1)=100\times(580-290)=2.9\times10^4\ \mathrm{kW}=29\ \mathrm{MW}.$$

（2）燃料消耗量。燃烧室定压，忽略动能差，空气吸热等于燃料放热：

$$\dot m q=\dot m_f Q_f,$$

$$\dot m_f=\frac{100\times670}{43960}=1.52\ \mathrm{kg/s}=5.49\ \mathrm{t/h}.$$

（3）喷管出口速度。燃烧室出口焓

$$h_3=h_2+q=580+670=1250\ \mathrm{kJ/kg}.$$

喷管绝热、无轴功，能量方程为

$$h_3+\frac{c_3^2}{2}=h_{3’}+\frac{c_{3’}^2}{2}.$$

取 $c_3\approx c_2=20\ \mathrm{m/s}$，得

$$c_{3’}=\sqrt{2(h_3-h_{3’})\times1000+c_3^2}
=\sqrt{2\times450\times1000+400}
=949\ \mathrm{m/s}.$$

（4）燃气透平功率。动叶中 $h$ 不变，透平做功等于动能降：

$$P_t=\dot m\left[\left(h_{3’}+\frac{c_{3’}^2}{2}\right)-\left(h_4+\frac{c_4^2}{2}\right)\right]
=\dot m\frac{c_{3’}^2-c_4^2}{2}
=44.5\ \mathrm{MW}.$$

（5）装置净功率：

$$P_{\text{net}}=P_t-P_c=44.5-29.0=15.5\ \mathrm{MW}.$$

这道题把稳流能量方程的几个典型部件串在一起：压气机看焓升，燃烧室看焓差，喷管把焓变成动能，动叶再把动能变成轴功。如果取喷管加动叶为一个系统，直接用 $h_3-h_4$ 加动能差，结果一样。选系统不同，账的写法不同，这是第一定律最值得练的地方。

其余题只讲思路

• 2-9、2-10 充气：取储气罐为开口系，进入的是焓；绝热充真空罐时 $u’=h$，有原有气体时积分能量方程。
• 2-15 汽轮机：轴功 $P=\dot m[(h_1-h_2)+(c_1^2-c_2^2)/2]$；冷却水流量由凝汽器热平衡 $\dot m(h_2-h_3)=\dot m_w c_p\Delta T$ 求。
• 2-16 压气机：先用闭口系 $q=\Delta u+w$ 求压缩功，再用 $w_t=w-\Delta(pv)$ 求轴功，最后乘质量流量。
• 2-17 喷管：绝热稳流，$c_2=\sqrt{2\times1000c_p(T_1-T_2)+c_1^2}$，$c_p$ 用 $\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。
• 2-5：同一初终态，$\Delta u$ 相同，$q$ 和 $w$ 可以不同，因为它们是过程量。
• 2-6、2-7 活塞突然卸载：过程不可逆，但初终态是平衡态；用第一定律加“理想气体内能只与温度有关”求终态。

这一章最容易错的地方

• 把闭口系的 $Q=\Delta U+W$ 直接套到开口系，忘记推进功；
• 把焓 $h$ 当成内能 $u$，或者反过来；
• 高速喷管里忽略动能项；
• 把节流当成可逆膨胀，只看 $h_1=h_2$，不看熵增；
• 充气时把进入系统的能量写成内能，而不是焓。

第 3 章 理想气体：把过程变成曲线

理想气体是这门课的第一个“可计算模型”。它的价值在于：只要知道两个状态参数，其余参数都能算出来；只要知道过程方程，功、热、熵变都能积分。

状态方程与适用条件

理想气体遵循克拉贝龙方程：

$$pV=mRT,\qquad pv=RT,\qquad pV=nR_mT.$$

$R_m=8.314\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}$ 是通用气体常数，与气体种类无关；$R=R_m/M$ 是气体常数，与气体种类有关。计算时注意三件事：绝对压力、热力学温度、单位统一。

理想气体模型假设分子之间没有作用力、分子本身不占容积。实际气体在压力低、温度高、远离液态时接近理想气体。单原子和双原子气体（He、O$_2$、N$_2$、空气、CO、H$_2$）在常压到几兆帕、常温以上可以按理想气体处理；水蒸气一般不行，但湿空气中的水蒸气分压很低，可以当理想气体。

内能、焓、熵只跟温度有关

焦耳实验说明：理想气体绝热自由膨胀时温度不变。没有分子间作用力，内能只由分子动能决定，所以 $u=u(T)$；又因为 $h=u+pv=u+RT$，所以 $h=h(T)$。

定容比热和定压比热定义为

$$c_v=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v,\qquad
c_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p.$$

对理想气体，

$$c_p-c_v=R,\qquad k=\frac{c_p}{c_v}.$$

内能、焓、熵变分别为

$$\Delta u=\int_{1}^{2} c_v\hspace{0.17em}\mathrm{d}T,\qquad
\Delta h=\int_{1}^{2} c_p\hspace{0.17em}\mathrm{d}T,$$

$$\Delta s=c_v\ln\frac{T_2}{T_1}+R\ln\frac{v_2}{v_1}
=c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R\ln\frac{p_2}{p_1}.$$

比热有三种算法：定比热、真实比热、平均比热。定比热最简单，温度范围大时误差也大；真实比热按多项式积分；平均比热查表。作业里的 3-5 就是让你分别用平均比热表和理论定摩尔热容算定容加热，比较两种结果。

四种基本过程

过程	过程方程	参数关系	$w$	$w_t$	$q$
定容	$v=\text{const}$	$p/T=\text{const}$	$0$	$v(p_1-p_2)$	$\Delta u=c_v\Delta T$
定压	$p=\text{const}$	$v/T=\text{const}$	$p\Delta v=R\Delta T$	$0$	$\Delta h=c_p\Delta T$
定温	$T=\text{const}$	$pv=\text{const}$	$RT\ln(v_2/v_1)$	同 $w$	同 $w$
绝热	$pv^k=\text{const}$	$Tv^{k-1}=\text{const}$	$\dfrac{p_1v_1-p_2v_2}{k-1}$	$k w$	$0$
多变	$pv^n=\text{const}$	$Tv^{n-1}=\text{const}$	$\dfrac{p_1v_1-p_2v_2}{n-1}$	$n w$	$c_n\Delta T$

多变过程的比热是

$$c_n=c_v\frac{n-k}{n-1}.$$

$n=0$ 是定压，$n=1$ 是定温，$n=k$ 是绝热，$n\to\infty$ 是定容。记住这四个极限，多变过程就不会混。

$p$-$v$ 图上，定容是竖线，定压是水平线，定温是双曲线，绝热线比定温线陡。$T$-$s$ 图上，定容和定压是上凸曲线，定温是水平线，绝热是竖线。作图题先看 $T$ 和 $s$ 的变化方向：$T$ 升、$s$ 增，终态在右上；$T$ 降、$s$ 减，终态在左下。

下面这张图取空气（$R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$k=1.4$）从同一初态（$p_1=200\ \mathrm{kPa}$、$T_1=300\ \mathrm{K}$）出发做四个加热过程，可以直接对着看曲线的相对陡度：p-v 图上绝热线（蓝）比定温线（紫）陡，T-s 图上定容线（橙）比定压线（绿）陡，四条线都指向右上方（$T$ 升、$s$ 增）。

压气机

理论压气功是技术功 $w_t=\int v\hspace{0.17em}\mathrm{d}p$。同样的初终压力，等温压缩最省功，绝热压缩次之，多变压缩居中。实际压气机有水套冷却，接近等温但不等温；没有冷却时接近绝热。

分级压缩、中间冷却可以进一步省功。两级压缩时，每级增压比相等，总耗功最小：

$$\pi_{\text{opt}}=\sqrt{\pi_{\text{total}}}.$$

$m$ 级时 $\pi_{\text{opt}}=\pi_{\text{total}}^{1/m}$。级数越多越省功，但结构复杂、成本高，工程上一般 2~4 级。

余隙容积不影响单位产气量的理论耗功，但会降低容积效率。余隙比一般取 0.03~0.08，太大时产气量明显下降。

典型题：3-13 氧气瓶放气

氧气瓶容积 $V=0.04\ \mathrm{m^3}$，初态 $p_1=147.1\ \mathrm{bar}$、$t_1=20^\circ\mathrm{C}$，迅速放气到 $p_2=73.55\ \mathrm{bar}$。题目有三问：快速放气后的温度和放出的质量、关闭阀门后的变化、缓慢放气与快速放气的比较。

（1）迅速放气，瓶壁来不及换热，按绝热处理；瓶内剩余气体经历可逆绝热膨胀（理想气体，$k=1.4$）：

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}
=\left(\frac{73.55}{147.1}\right)^{0.2857}=0.8203.$$

$$T_2=293.15\times0.8203=240.5\ \mathrm{K}=-32.7^\circ\mathrm{C}.$$

初态质量：

$$m_1=\frac{p_1V}{RT_1}
=\frac{147.1\times10^5\times0.04}{259.8\times293.15}=7.73\ \mathrm{kg}.$$

终态质量：

$$m_2=\frac{p_2V}{RT_2}
=\frac{73.55\times10^5\times0.04}{259.8\times240.5}=4.71\ \mathrm{kg}.$$

放出的质量：

$$\Delta m=m_1-m_2=3.02\ \mathrm{kg}.$$

放气后瓶内温度降到 $-32.7^\circ\mathrm{C}$，这不是算错，而是绝热膨胀的结果：瓶内气体对外推流出气体做功，内能下降。若瓶壁导热很好，温度会回升，就不能用这个式子。

（2）关闭阀门后，瓶内气体温度低于环境温度，会从外界吸热，最终回到 $20^\circ\mathrm{C}$；体积不变，压力按

$$p_3=p_2\frac{T_1}{T_2}=73.55\times\frac{293.15}{240.5}=89.6\ \mathrm{bar}$$

回升。

（3）如果放气极慢，瓶内气体始终与外界热平衡，按等温放气，终态质量

$$m_2’=\frac{p_2V}{RT_1}=3.86\ \mathrm{kg},$$

放出 $3.87\ \mathrm{kg}$，比快速放气多。原因是快速放气时瓶内温度低、密度大，同样压力下留住了更多质量。

其余题只讲思路

• 3-2：状态方程直接算，注意用绝对压力和 K。
• 3-5：定容加热，$q=\Delta u=\int c_v\hspace{0.17em}\mathrm{d}T$；用平均比热表或双原子理论 $c_v=5R/2$ 计算并比较。
• 3-8：氩气定内能（定温）膨胀，$T$ 不变，$\Delta u=0$，$q=w=RT\ln(v_2/v_1)$，再用熵变公式。
• 3-10：同一初态分别定熵压缩和定温压缩，比较终压；定熵用 $pv^k=\text{const}$，定温用 $pv=\text{const}$。
• 3-20：压气机分级压缩，最佳增压比 $\pi_{\text{opt}}=\sqrt{\pi_{\text{total}}}$，再算各级耗功。

这一章最容易错的地方

• 把 $c_p-c_v=R$ 用到实际气体或水蒸气；
• 认为定温过程 $q=w$ 对任何工质都成立——它只对理想气体等温过程成立；
• 把绝热过程当成等熵过程，忽略不可逆；
• 用表压或摄氏度代入 $pV=mRT$；
• 多变指数 $n$ 和绝热指数 $k$ 混用。

第 4 章 第二定律：方向、上限与损失

第一定律管“账平不平”，第二定律管“这事能不能发生”。一个过程即使能量守恒，也可能根本不能自发进行；一个热机即使没有摩擦，也不可能把从单一热源吸的热全部变成功。

两种表述

开尔文-普朗克表述：不可能从单一热源取热，并使之完全转变为有用功而不产生其他影响。克劳修斯表述：不可能把热从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

两种表述等价。违反一种，必然违反另一种；证明方法是反证法，用一台违反一种表述的机器去带动一台可逆机，最终得到违反另一种表述的结果。

第二类永动机不违反第一定律，它只是从单一热源取热、全部变成功，或者把热从低温搬到高温而不付代价。它违反的是第二定律。

卡诺循环与卡诺定理

卡诺循环由两个定温过程和两个绝热过程组成。热机效率

$$\eta_{t,C}=1-\frac{T_2}{T_1}.$$

它只取决于两个恒温热源的温度，与工质性质无关。$T_1$ 越高、$T_2$ 越低，效率越高；$T_1=T_2$ 时效率为零，单热源热机不可能；即使 $T_2=0\ \mathrm{K}$，效率也小于 100%。

逆卡诺循环的制冷系数和制热系数分别为

$$\varepsilon_C=\frac{T_2}{T_0-T_2},\qquad
\varepsilon_C’=\frac{T_1}{T_1-T_0}.$$

卡诺定理：在两个不同温度的恒温热源之间工作的一切热机，可逆热机的热效率最高；一切可逆热机的效率相同，且与工质无关；不可逆热机的效率低于同温限的可逆热机。

多热源可逆热机的效率低于同温限的卡诺热机；如果采用完全回热，吸热和放热的多变指数相同，效率可以等于卡诺效率，这就是概括性卡诺循环。

熵与克劳修斯不等式

克劳修斯不等式：

$$\oint \frac{\delta Q}{T}\le 0.$$

可逆循环取等号，不可逆循环取小于号，大于零的循环不可能实现。这里的 $T$ 是热源温度，热量符号相对于循环取。

熵的定义是

$$\mathrm{d}s=\frac{\delta q_{\text{rev}}}{T}.$$

熵是状态参数，不可逆过程的熵变可以任选一条连接同样初终态的可逆路径来计算。任意过程的熵变可以分成两部分：

$$\Delta s=s_f+s_g,\qquad s_f=\int\frac{\delta q}{T},\qquad s_g\ge0.$$

$s_f$ 是熵流，可正可负；$s_g$ 是熵产，永远非负。熵产是过程不可逆程度的度量。绝热可逆过程 $s_g=0$，绝热不可逆过程 $s_g>0$。这两个词我最初总是混：看到 $\Delta s>0$ 就以为熵产一定大于零，其实可逆等温吸热也会让熵增加，熵产可以是零。

孤立系统熵增原理：

$$\Delta S_{\text{iso}}\ge0.$$

可逆过程取等号，不可逆过程大于零，小于零的过程不可能发生。这是第二定律最常用的判据。

㶲与作功能力损失

能量有品位。机械能、电能可以全部变成功，是高级能量；环境中的内能理论上不能变成功；热能只能部分变成功，是低级能量。

㶲（exergy）的定义是：系统从任意状态可逆地变化到与环境平衡的状态时，理论上可以转换为其他能量形式的那部分能量。稳流工质的比㶲是

$$e_x=h-h_0-T_0(s-s_0).$$

闭口系的比㶲是

$$e_x=u-u_0+p_0(v-v_0)-T_0(s-s_0).$$

热量㶲是

$$e_{x,Q}=\left(1-\frac{T_0}{T}\right)Q.$$

不可逆过程造成的作功能力损失为

$$I=T_0 S_{g,\text{iso}}.$$

这个式子把“熵产”和“损失了多少功”联系起来。算㶲损时，先算孤立系熵产，再乘环境温度。

典型题：温差传热加不可逆膨胀（课件例题）

某热机工作在 $T_1=800\ \mathrm{K}$ 和 $T_2=285\ \mathrm{K}$ 之间，吸热 $q_1=600\ \mathrm{kJ/kg}$，环境温度 $T_0=285\ \mathrm{K}$。

（1）卡诺机：

$$\eta_C=1-\frac{285}{800}=0.6438,$$

$$w_C=q_1\eta_C=386.2\ \mathrm{kJ/kg},\qquad
q_2=q_1-w_C=213.8\ \mathrm{kJ/kg}.$$

（2）若高温侧传热有 50 K 温差，低温侧有 15 K 温差，绝热膨胀不可逆引起熵增 $0.25\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，求循环功、热效率、孤立系熵增和㶲损。

高温侧工质吸热温度 $750\ \mathrm{K}$，低温侧工质放热温度 $300\ \mathrm{K}$。对循环取熵平衡：

$$\frac{q_1}{750}-\frac{q_2}{300}+0.25=0,$$

$$q_2=300\times(0.8+0.25)=315\ \mathrm{kJ/kg}.$$

$$w=q_1-q_2=600-315=285\ \mathrm{kJ/kg},\qquad
\eta=\frac{285}{600}=0.475.$$

孤立系熵产由三部分组成：高温侧温差传热、绝热膨胀、低温侧温差传热。

$$s_{g,\text{iso}}=\left(\frac{600}{750}-\frac{600}{800}\right)+0.25+\left(\frac{315}{285}-\frac{315}{300}\right)
=0.05+0.25+0.0553=0.3553\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.$$

作功能力损失：

$$i=T_0s_{g,\text{iso}}=285\times0.3553=101.3\ \mathrm{kJ/kg}.$$

和卡诺机相比，少做了 $386.2-285=101.2\ \mathrm{kJ/kg}$ 的功，正好等于 $T_0S_g$。这不是巧合，是第二定律的账。

其余题只讲思路

• 4-3 串联卡诺机：总效率等于同温限单个卡诺机，因为中间热源只是传热媒介，可逆时总熵产为零。
• 4-4、4-6 判方向：4-4 用卡诺效率或 $\oint\delta Q/T$ 判循环可逆、不可逆还是不可能；4-6 由熵增和熵流算熵产，再判断过程性质。
• 4-9、4-11 熵产：先定孤立系边界，再把各部分的熵流加起来。
• 4-16、4-19 㶲损：先算 $S_{g,\text{iso}}$，再乘 $T_0$；注意 $T_0$ 是环境温度，不是热源温度。
• 判断“能不能实现”：算 $\oint\delta Q/T$ 或 $\Delta S_{\text{iso}}$，出现负值就是不可能。

这一章最容易错的地方

• 认为绝热过程一定 $\Delta s=0$——只有可逆绝热才是；
• 把熵流和熵产混为一谈，看到 $\Delta s>0$ 就说“熵产大于零”；
• 用热源温度以外的温度算熵流；
• 循环的 $\Delta S=0$ 和孤立系的 $\Delta S_{\text{iso}}>0$ 不矛盾：循环工质回到初态，熵变为零，但熵产留在了孤立系里；
• 算㶲损时用错环境温度。

第 5 章 气体动力循环：把过程接成圈

动力循环的通用套路是：升压是前提，加热是手段，作功是目的，放热是保障。顺序不能变，步骤不能缺。内燃机和燃气轮机都是这个套路，区别只在加热方式和工质。

内燃机理想循环

活塞式内燃机先压缩空气，再加热（燃烧），然后膨胀做功，最后放热（排气）。理想化时假设工质数量不变、定比热理想气体、闭口循环、燃烧用外界加热代替、排气用放热代替、多变过程按绝热处理、不可逆按可逆处理。

三种理想循环：

• 定容加热循环（Otto）：汽油机，加热在定容下完成；
• 定压加热循环（Diesel）：低速柴油机，加热在定压下完成；
• 混合加热循环：高速柴油机，先定容后定压。

Otto 循环热效率：

$$\eta_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{\varepsilon^{k-1}}.$$

Diesel 循环热效率：

$$\eta_{\text{Diesel}}=1-\frac{1}{\varepsilon^{k-1}}\cdot\frac{\rho^k-1}{k(\rho-1)}.$$

其中 $\varepsilon=v_1/v_2$ 是压缩比，$\rho=v_3/v_2$ 是预胀比。混合加热循环多一个定容增压比 $\lambda=p_3/p_2$，公式更复杂，但趋势一样：压缩比越大、$k$ 越大，效率越高；预胀比越大，效率越低。

汽油机压缩比受爆燃限制，一般 510；柴油机压缩比可以到 1421，所以柴油机效率通常高于汽油机。

下图画的是同一个压缩比（$\varepsilon=8$）、同一个吸热量（$q_{\text{in}}=800\ \mathrm{kJ/kg}$，$T_1=300\ \mathrm{K}$、$p_1=100\ \mathrm{kPa}$）下的两个循环：灰色是共用的定熵压缩和放热线，橙色实线是 Otto（定容加热），绿色虚线是 Diesel（定压加热）。p-v 图上两条吸热线起点相同，T-s 图上定压加热线更靠右，同样的吸热量温升更小，这就是 $\rho^k-1$ 那一项拖低 Diesel 效率的几何解释。

勃雷登循环

燃气轮机按勃雷登循环工作：压气机绝热压缩、燃烧室定压加热、透平绝热膨胀、排气定压放热。理想循环热效率：

$$\eta_{\text{Brayton}}=1-\frac{1}{\pi^{\frac{k-1}{k}}},$$

其中 $\pi=p_2/p_1$ 是增压比。这个式子和卡诺效率形式很像，但 $\pi$ 不是温度比，不要混。

循环净功最大时的最佳增压比：

$$\pi_{\text{opt}}=\left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{\frac{k}{2(k-1)}}.$$

提高增压比可以提高效率，但净功先增后减；$T_3$ 受材料耐热限制，不能无限提高。

回热用透平排气预热压气机出口空气，可以减少燃烧室加热量。间冷把压气机分级、中间冷却，再热把透平分级、中间再热。间冷和再热一般都要配合回热，否则效率可能不升反降。无穷多级间冷、再热加完全回热，极限就是概括性卡诺循环。

勃雷登循环的 p-v 图和 T-s 图长这样（取 $T_1=300\ \mathrm{K}$、$p_1=100\ \mathrm{kPa}$、$\pi=8$、$T_3=1200\ \mathrm{K}$）：两个定压过程在 p-v 图上是两条水平线，T-s 图上 2→3 与 3→4 两段曲线下的面积分别对应吸热量与放热量，两个定熵过程则是竖线。

典型题：5-2 Otto 循环

压缩比 $\varepsilon=7.5$ 的 Otto 循环，吸气状态 $p_1=98\ \mathrm{kPa}$、$T_1=285\ \mathrm{K}$。分别取 $k=1.3$ 和 $k=1.4$，求压缩终了的压力、温度和循环热效率。

定熵压缩：

$$T_2=T_1\varepsilon^{k-1},\qquad p_2=p_1\varepsilon^k.$$

$k=1.3$：

$$T_2=285\times7.5^{0.3}=521.6\ \mathrm{K},$$

$$p_2=98\times7.5^{1.3}=1345\ \mathrm{kPa},$$

$$\eta=1-\frac{1}{7.5^{0.3}}=0.454.$$

$k=1.4$：

$$T_2=285\times7.5^{0.4}=638.1\ \mathrm{K},$$

$$p_2=98\times7.5^{1.4}=1646\ \mathrm{kPa},$$

$$\eta=1-\frac{1}{7.5^{0.4}}=0.553.$$

同样的压缩比，$k$ 从 1.3 提高到 1.4，效率从 45.4% 提高到 55.3%。实际气体的 $k$ 随温度变化，工程计算要取平均温度下的值。

其余题只讲思路

• 5-7 混合加热循环：已知 $T_1$、$q_1$ 和压缩比，先定熵压缩求 $T_2$，再由定容、定压吸热求 $T_3$、$T_4$，最后定熵膨胀求 $T_5$，用 $q_2=c_v(T_5-T_1)$ 算放热。
• 5-8：已知各点温度，直接算 $q_1$、$q_2$，再和同温限卡诺效率比较。
• 5-9 勃雷登循环：$\pi=5$、$T_1=293\ \mathrm{K}$、$T_3=1173\ \mathrm{K}$，算得 $T_2=464\ \mathrm{K}$、$T_4=741\ \mathrm{K}$，$w_{\text{comp}}=172\ \mathrm{kJ/kg}$、$w_{\text{turb}}=435\ \mathrm{kJ/kg}$，净功 $263\ \mathrm{kJ/kg}$，效率 36.9%；乘以 4 kg/s，压气机 688 kW、透平 1738 kW、净功率 1051 kW。
• 5-13 回热：理想回热时压气机出口被加热到透平出口温度，$T_{2R}=T_4$，回热量 $q_{\text{reg}}=h_4-h_2$；燃烧室加热量减少同样的量，净功不变，效率提高。

这一章最容易错的地方

• Otto 用压缩比 $\varepsilon$，Brayton 用增压比 $\pi$，两个符号不要混；
• 温度必须用 K；
• Diesel 的预胀比 $\rho=1$ 时退化为 Otto；
• 实际循环要乘压气机绝热效率和透平相对内效率，不能直接用理想公式；
• 回热、间冷、再热的 T-s 图要会画，否则很容易把吸热、放热段搞错。

第 6 章 水蒸气：图表比公式重要

水蒸气是实际气体的代表。它不能按 $pV=mRT$ 算，必须查水蒸气表或焓熵图。这一章的重点不是推导，而是判断状态、查对参数。

一点两线三区五态

水的 $p$-$T$ 图上有三相点、临界点、饱和液线、饱和汽线和三相线。$p$-$v$ 图和 $T$-$s$ 图上分成三个单相区和三个两相区。

五个状态：未饱和水（过冷水）、饱和水、湿饱和蒸汽、干饱和蒸汽、过热蒸汽。饱和温度和饱和压力一一对应；湿蒸汽的 $p$ 和 $T$ 不独立，必须再给一个参数，通常用干度 $x$。

干度定义为

$$x=\frac{m_g}{m_g+m_f}.$$

湿蒸汽的参数按质量加权：

$$v=v’+x(v’’-v’),$$

$$h=h’+x(h’’-h’),$$

$$s=s’+x(s’’-s’).$$

上标一撇是饱和水，两撇是干饱和蒸汽。

状态判断和查表

给定 $p$、$T$，先查该压力下的饱和温度 $T_s(p)$：$T<T_s$ 是未饱和水，$T=T_s$ 是饱和状态，$T>T_s$ 是过热蒸汽。

给定 $p$ 和 $v$（或 $h$、$s$），先查该压力下的 $v’$、$v’’$：落在两者之间就是湿蒸汽，用干度公式反算 $x$；小于 $v’$ 是未饱和水；大于 $v’’$ 是过热蒸汽。

查表时注意：饱和表有按温度排列和按压力排列两种；过热表给出 $p$、$T$ 下的 $v$、$h$、$s$；焓熵图用于快速找点和画过程线。

水蒸气的热力过程

定压过程：$q=\Delta h$，$w_t=0$。锅炉、凝汽器、换热器都是定压过程。

绝热过程：$q=0$，汽轮机 $w_s=h_1-h_2>0$，水泵 $w_s=h_1-h_2<0$（耗功）。实际过程不可逆，用内效率修正：

$$\eta_{oi}=\frac{h_1-h_{2’}}{h_1-h_2}.$$

节流过程：$h_1=h_2$，但熵增加，是典型不可逆过程。制冷循环里的膨胀阀就是节流。

定温、定容过程在水蒸气设备里较少见，但 T-s 图和 h-s 图上要能画出来。

h-s 图（莫里耶图）上，饱和线呈拱形，过热区在右上方，湿蒸汽区在饱和线下方；定压线在过热区逐渐上翘，湿蒸汽区里定压线就是直线（温度不变）。下面这张图用第 7 章朗肯循环的例题数据画出来（$p_1=3\ \mathrm{MPa}$、$t_1=420^\circ\mathrm{C}$，膨胀到 $p_2=0.005\ \mathrm{MPa}$）：1→2 是汽轮机定熵膨胀（竖直向下的直线，出口干度 $x=0.823$），2→3 是凝汽器定压放热（沿 p₂ 线走向饱和水），3→4 是水泵增压（焓只升高约 3 kJ/kg，图上几乎与 3 重合），4→1 沿 p₁ 线回到过热区。

典型题：6-3 锅炉耗煤量

锅炉产汽 $20\ \mathrm{t/h}$，蒸汽压力 $4.5\ \mathrm{MPa}$、温度 $480^\circ\mathrm{C}$；给水压力 $4.5\ \mathrm{MPa}$、温度 $30^\circ\mathrm{C}$；锅炉效率 0.8，煤的发热量 $30000\ \mathrm{kJ/kg}$。求每小时耗煤量。

查水蒸气表：

$$h_{\text{fw}}\approx129.8\ \mathrm{kJ/kg},\qquad
h_{\text{steam}}\approx3393.9\ \mathrm{kJ/kg}.$$

每千克蒸汽吸热：

$$q=h_{\text{steam}}-h_{\text{fw}}=3264.1\ \mathrm{kJ/kg}.$$

每小时吸热：

$$Q=\dot m q=20000\times3264.1=6.528\times10^7\ \mathrm{kJ/h}.$$

耗煤量：

$$\dot m_{\text{coal}}=\frac{Q}{0.8\times30000}=2720\ \mathrm{kg/h}=2.72\ \mathrm{t/h}.$$

6-7 是凝汽器：乏汽真空度 0.094 MPa、大气压 0.1 MPa，绝对压力 0.006 MPa，干度 0.9。查表得 $v’=0.001006\ \mathrm{m^3/kg}$、$v’’=23.73\ \mathrm{m^3/kg}$，湿蒸汽比容 $v=21.36\ \mathrm{m^3/kg}$，凝结成饱和水后体积缩小约 21224 倍；每千克乏汽放热约 $2174\ \mathrm{kJ/kg}$。这道题考的是干度和“凝结后体积急剧缩小”，不是理想气体。

这一章最容易错的地方

• 用水蒸气当理想气体，套 $pV=mRT$ 和 $c_p-c_v=R$；
• 湿蒸汽只用 $p$、$T$ 两个参数，忘了干度；
• 查表时把 $h’$ 和 $h’’$ 用反；
• 汽轮机做功符号搞错，$w_s=h_1-h_2$ 是输出功；
• 忽略汽轮机内效率，把实际过程当等熵。

第 7 章 蒸汽动力循环：朗肯为什么打败卡诺

蒸汽动力循环用水的相变来工作。为什么不用卡诺循环？因为卡诺循环的压缩过程落在两相区，湿蒸汽压缩困难；汽轮机末级湿度太大会打坏叶片；等温吸热在锅炉里也不好实现。朗肯循环把压缩放在液态，设备简单，还能把蒸汽过热，所以成了火电厂的基本循环。

朗肯循环

四个设备：锅炉、汽轮机、凝汽器、给水泵。

• 1→2 汽轮机绝热膨胀，$w_{\text{turb}}=h_1-h_2$；
• 2→3 凝汽器定压放热，$q_2=h_2-h_3$；
• 3→4 给水泵绝热压缩，$w_{\text{pump}}=h_4-h_3\approx v’(p_1-p_2)$；
• 4→1 锅炉定压吸热，$q_1=h_1-h_4$。

热效率：

$$\eta_t=\frac{w_{\text{turb}}-w_{\text{pump}}}{q_1}=\frac{(h_1-h_2)-(h_4-h_3)}{h_1-h_4}.$$

泵功通常只占 0.8%~1%，粗略计算可以忽略；但题目要求不忽略时，必须算进去。

汽耗率表示每输出 $1\ \mathrm{kW\cdot h}$ 功消耗的蒸汽量：

$$d=\frac{3600}{w_{\text{turb}}-w_{\text{pump}}}\quad[\mathrm{kg/(kW\cdot h)}].$$

参数对效率的影响

提高初温 $t_1$：平均吸热温度提高，效率提高，同时排汽干度提高，对汽轮机有利。受材料耐热限制。

提高初压 $p_1$：效率提高，但排汽干度下降，末级叶片容易受蚀。所以高参数机组一般配合再热。

降低乏汽压力 $p_2$：效率提高，但受环境温度和冷却水温度限制，大型机组 $p_2$ 约 0.00350.005 MPa，对应的饱和温度已经接近 2733℃。

再热：把蒸汽在汽轮机中间抽出来，回到锅炉再加热，然后继续膨胀。再热本身不一定提高效率，但可以提高排汽干度，为采用更高初压创造条件。再热压力一般取 $p_b\approx(0.2\sim0.3)p_1$。

回热：从汽轮机中间抽汽，加热给水。抽汽量用混合式回热器的能量平衡求：

$$\alpha h_a+(1-\alpha)h_{4’}=h_4.$$

回热能提高平均吸热温度，但循环比功减小、汽耗率增加。

热电联产、燃气-蒸汽联合循环是进一步提高能量利用率的方向。联合循环把燃气轮机的高温排气用于加热蒸汽，效率可以到 60%。

典型题：朗肯循环计算（课件例题）

蒸汽动力循环按朗肯循环工作，汽轮机入口 $p_1=3\ \mathrm{MPa}$、$t_1=420^\circ\mathrm{C}$，排汽压力 $p_2=0.005\ \mathrm{MPa}$。求每千克蒸汽的净功和热效率。

查表：

$$h_1=3277.0\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1=6.9897\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.$$

排汽压力下：

$$h’=137.8\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h’’=2561.2\ \mathrm{kJ/kg},$$

$$s’=0.4762,\qquad s’’=8.3930.$$

定熵膨胀 $s_2=s_1$，求干度：

$$x_2=\frac{6.9897-0.4762}{8.3930-0.4762}=0.8227.$$

$$h_2=h’+x_2(h’’-h’)=137.8+0.8227\times2423.4=2131.0\ \mathrm{kJ/kg}.$$

汽轮机做功：

$$w_{\text{turb}}=h_1-h_2=1146.0\ \mathrm{kJ/kg}.$$

泵功：

$$w_{\text{pump}}=v’(p_1-p_2)=0.001005\times(3000-5)=3.0\ \mathrm{kJ/kg}.$$

锅炉吸热：

$$q_1=h_1-(h’+w_{\text{pump}})=3277.0-140.8=3136.2\ \mathrm{kJ/kg}.$$

热效率：

$$\eta_t=\frac{w_{\text{turb}}-w_{\text{pump}}}{q_1}=\frac{1146.0-3.0}{3136.2}=0.3644.$$

净功约 $1143\ \mathrm{kJ/kg}$，热效率约 36.4%。如果不忽略泵功，结果会略有差别；这道题里泵功只占 0.3% 左右，但计算时要写清楚。

其余题只讲思路

• 再热循环：吸热量分成锅炉和再热器两段，汽轮机功分成高压缸和低压缸两段；再热压力越高，再热段吸热温度越高，但排汽干度越低。
• 回热循环：先求抽汽量 $\alpha$，再算 $1-\alpha$ 千克工质在汽轮机里的功和锅炉里的吸热；T-s 图上各点质量不同，面积不再直接代表热和功。
• 热电联产：用背压式或抽汽式机组，把做过功的蒸汽用于供热；评价指标是能量利用系数，但要考虑热和电的品位差异。

这一章最容易错的地方

• 忽略泵功却又在公式里保留 $h_4-h_3$；
• 排汽干度 $x_2$ 算出大于 1，说明排汽在过热区，不能再用湿蒸汽公式；
• 再热循环的吸热量忘记加再热段；
• 回热抽汽量用错能量平衡边界；
• 把 T-s 图上的面积直接当功，忽略各点质量不同。

第 8 章 制冷循环：把动力循环倒过来

制冷循环和热泵循环都是逆循环：输入功，把热从低温搬到高温。动力循环是正向的，制冷和热泵是反向的；动力循环追求效率，制冷循环追求制冷系数。

制冷系数与热泵系数

制冷系数：

$$\varepsilon=\frac{q_2}{w_{\text{net}}}=\frac{q_2}{q_1-q_2}.$$

热泵系数：

$$\varepsilon’=\frac{q_1}{w_{\text{net}}}=\frac{q_1}{q_1-q_2}.$$

逆卡诺循环的制冷系数和热泵系数分别为

$$\varepsilon_C=\frac{T_2}{T_0-T_2},\qquad
\varepsilon_C’=\frac{T_1}{T_1-T_0}.$$

$T_2$ 是冷库温度，$T_0$ 是环境温度，$T_1$ 是供热温度。冷库温度越低、环境温度越高，制冷系数越小。

制冷量常用冷吨表示。1 冷吨是 1 吨 0℃ 饱和水在 24 小时内冻成 0℃ 冰所需的冷量，约 3.86 kJ/s；美国冷吨约 3.517 kJ/s。

空气压缩制冷

空气压缩制冷是逆勃雷登循环：压气机绝热压缩、冷却器等压放热、膨胀机绝热膨胀、冷藏室等压吸热。理想制冷系数：

$$\varepsilon=\frac{1}{\pi^{\frac{k-1}{k}}-1}.$$

它比同温限的逆卡诺循环低，因为吸热和放热不是定温的。空气回热可以降低膨胀机入口温度，但不改变制冷系数，只适用于小压比、大流量的叶轮式压气机。

空气压缩制冷的根本问题是 $q_2=c_p(T_1-T_4)$ 很小，制冷能力低。所以工程上主要用蒸气压缩制冷。

蒸气压缩制冷

四个部件：压缩机、冷凝器、节流阀、蒸发器。

• 1→2 压缩机绝热压缩；
• 2→3 冷凝器定压放热，出口是饱和液；
• 3→4 节流阀绝热节流，$h_4=h_3$；
• 4→1 蒸发器定压吸热，出口是干饱和蒸汽。

制冷系数：

$$\varepsilon=\frac{q_2}{w}=\frac{h_1-h_4}{h_2-h_1}.$$

节流阀代替膨胀机，会损失一部分功、少从冷库取走一些热量，但设备大大简化，开度容易调节，利大于弊。

制冷循环在压焓（lg p-h）图上看最直观：纵轴是对数压力，饱和线呈拱形把图分成三块，左边是液态区，拱内是两相区，右边是气态区。四个部件各占一条线：1→2 压缩（穿过两相区上方进入气态区的斜线），2→3 冷凝（沿冷凝压力的水平线横穿两相区），3→4 节流（竖直向下的虚线，焓不变），4→1 蒸发（沿蒸发压力的水平线）。下面这张图按 R134a 的量级画示意（$p_{\text{evap}}=0.133\ \mathrm{MPa}$ 对应 $-20^\circ\mathrm{C}$，$p_{\text{cond}}=0.77\ \mathrm{MPa}$ 对应 $30^\circ\mathrm{C}$，临界点约 $4.06\ \mathrm{MPa}$），各点焓值就是后面例题查图的数。

压缩机入口用干饱和蒸汽，是为了避免“液击”；冷凝器出口用饱和液，是为了让节流后干度合适。过冷可以增加制冷量，过热可以防止液击，但都会影响循环性能。

典型题：HFC134a 蒸气压缩制冷循环（课件例题）

以 HFC134a 为工质的制冷机，蒸发温度 $-20^\circ\mathrm{C}$，压缩机入口为干饱和蒸汽，冷凝温度 $30^\circ\mathrm{C}$，冷凝器出口为饱和液，制冷量 $1\ \mathrm{kW}$。查压焓图得：

$$h_1=385\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_2=420\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_3=245\ \mathrm{kJ/kg}.$$

节流后 $h_4=h_3=245\ \mathrm{kJ/kg}$。

单位质量制冷量：

$$q_2=h_1-h_4=385-245=140\ \mathrm{kJ/kg}.$$

压缩机耗功：

$$w=h_2-h_1=420-385=35\ \mathrm{kJ/kg}.$$

制冷系数：

$$\varepsilon=\frac{140}{35}=4.0.$$

制冷量 $1\ \mathrm{kW}$ 时，压缩机功率：

$$P=\frac{Q_2}{\varepsilon}=\frac{1}{4.0}=0.25\ \mathrm{kW}.$$

制冷剂流量：

$$\dot m=\frac{Q_2}{q_2}=\frac{1}{140}=0.00714\ \mathrm{kg/s}=25.7\ \mathrm{kg/h}.$$

8-6 是带理想回热的逆勃雷登循环，工作温度 290 K 和 220 K，增压比 5，输入功率 3 kW。先算各点温度，再用 $q_2=c_p(T_1-T_{2R})$ 和 $\varepsilon=q_2/w$。回热不改变制冷系数，但可以降低膨胀机入口温度，改善运行。

这一章最容易错的地方

• 把节流当成等熵膨胀，忘记 $h$ 不变、熵增加；
• 制冷系数用 $q_1$ 而不是 $q_2$；
• 热泵系数和制冷系数混用；
• 冷凝器出口当成湿蒸汽，实际上通常是饱和液；
• 压缩机入口带液，造成液击。

第 9 章 湿空气：空调里的混合气体

湿空气是干空气和水蒸气的混合物。它和一般理想混合气体最大的区别是：水蒸气的含量会变化，而且水蒸气可能凝结。空调、通风、烘干、冷却塔都离不开这一章。

混合气体

混合气体的成分可以用质量成分 $g_i$ 或摩尔成分 $x_i$ 表示：

$$\sum g_i=1,\qquad \sum x_i=1.$$

平均摩尔质量和折合气体常数：

$$M_{\text{mix}}=\sum x_iM_i,\qquad
R_{\text{mix}}=\frac{R_m}{M_{\text{mix}}}=\sum g_iR_i.$$

道尔顿分压定律：混合气体的总压力等于各组分分压力之和。分容积定律：总容积等于各组分在混合气体温度和压力下的分容积之和。容积成分等于摩尔成分。

混合气体的总参数具有加和性，但比参数要用质量加权或摩尔加权。同温同压下理想气体绝热混合的熵增为

$$\Delta S_{\text{mix}}=-R_m\sum n_i\ln x_i.$$

这个式子只与摩尔成分有关，与气体种类无关。若把同种气体也代进去，公式会给出非零的“混合熵增”，但同种气体同温同压混合实际上没有熵增；这个矛盾叫吉布斯佯谬。

湿空气的基本参数

湿空气 = 干空气 + 水蒸气。水蒸气分压 $p_v$ 很低，可以当理想气体；干空气也当理想气体。

绝对湿度是每立方米湿空气中水蒸气的质量；相对湿度是

$$\phi=\frac{p_v}{p_s(T)},$$

其中 $p_s(T)$ 是同温度下的饱和水蒸气压力。$\phi=0$ 是干空气，$\phi=1$ 是饱和湿空气，$0<\phi<1$ 是未饱和湿空气。

含湿量（比湿度）以 1 kg 干空气为基准：

$$d=0.622\frac{p_v}{p-p_v}\quad[\mathrm{kg\ 水蒸气/kg\ 干空气}].$$

湿空气的焓也以 1 kg 干空气为基准：

$$h=1.005t+d(2501+1.86t)\quad[\mathrm{kJ/kg\ 干空气}].$$

露点温度 $T_d$ 是湿空气在 $p_v$ 不变时冷却到饱和的温度：

$$T_d=T_s(p_v).$$

湿球温度是湿纱布包住温度计、空气流过时达到的稳定温度，它接近绝热饱和温度。干球温度、湿球温度、露点温度三者的关系要能在 h-d 图上标出来。

湿空气的过程

• 单纯加热或冷却：$d$ 不变，$h$ 变，$\phi$ 变；
• 冷却去湿：先冷却到露点，再继续冷却，水蒸气凝结，$d$ 下降；
• 绝热加湿：喷水时 $h$ 近似不变、$d$ 增加；喷蒸汽时 $h$ 和 $d$ 都增加；
• 加热加湿：既加热又喷水，$h$ 和 $d$ 都增加；
• 绝热混合：质量守恒和焓守恒，混合点在 h-d 图上位于两状态点的连线上，按质量反比分配。

典型例：30℃、60% 的湿空气

$t=30^\circ\mathrm{C}$、$\phi=60\%$、$p=101.325\ \mathrm{kPa}$。查表 $p_s(30^\circ\mathrm{C})=4.246\ \mathrm{kPa}$。

$$p_v=\phi p_s=0.6\times4.246=2.548\ \mathrm{kPa}.$$

$$d=0.622\times\frac{2.548}{101.325-2.548}=0.01604\ \mathrm{kg/kg\ 干空气}.$$

$$h=1.005\times30+0.01604\times(2501+1.86\times30)=71.2\ \mathrm{kJ/kg\ 干空气}.$$

露点：

$$T_d=T_s(2.548\ \mathrm{kPa})\approx21.4^\circ\mathrm{C}.$$

如果把这团空气加热到 $50^\circ\mathrm{C}$，含湿量不变，相对湿度变为

$$\phi=\frac{2.548}{12.352}=0.206,$$

也就是从 60% 降到约 21%。这就是冬天供暖后室内感觉干燥的原因：温度升高，饱和压力升高，相对湿度下降，但实际水蒸气含量没变。

这一章最容易错的地方

• 含湿量的分母写成 $p$，而不是 $p-p_v$；
• 把相对湿度当成质量分数；
• 把露点和湿球温度混为一谈；
• 加热过程以为含湿量会变；
• 湿空气的焓忘记以 1 kg 干空气为基准。

把九章压成一张表

遇到题，按下面五步走：

1. 选系统：闭口、开口还是稳流？要不要把相关外界一起取成孤立系？
2. 认工质：理想气体、水蒸气、湿空气还是混合气体？
3. 认过程：定容、定压、定温、绝热、多变、节流、混合还是循环？
4. 查已知：$p$、$T$、$v$、$h$、$s$、$x$ 中知道哪些？压力和温度是不是绝对值和 K？
5. 选账本：第一定律、第二定律、状态方程还是水蒸气表？

最后检查符号、单位、可逆性和干度。

题目关键词	先想什么
表压、真空度	换成绝对压力
缓慢、准静态	可以用 $\int p\hspace{0.17em}\mathrm{d}v$
摩擦、节流、自由膨胀、混合	不可逆，算熵产
汽轮机、透平	$w_s=h_1-h_2$
压气机、泵	$w_s=h_2-h_1$
喷管	$c_2=\sqrt{2\times1000(h_1-h_2)+c_1^2}$，$h$ 用 kJ/kg
充气	进入的是焓，$u’=h$（真空罐）
放气	剩余气体绝热膨胀，$T_2/T_1=(p_2/p_1)^{(k-1)/k}$
湿蒸汽	先判断状态，再算干度
朗肯循环	定熵膨胀求 $x_2$，再算 $h_2$
制冷循环	节流 $h$ 不变，COP 用 $q_2/w$
湿空气	$d=0.622p_v/(p-p_v)$，焓以干空气为基准

课后题地图

照片覆盖第 1–6 章和第 8 章，共 116 道习题；第 7 章没有课后题照片，第 9 章只有课件作业题号（9-3、9-6、9-8）。下面按章列出题号和一句话思路，前面已经完整算过的题不再重复。

章	题号范围	精讲与重点	其余题的共同套路
1	1-1~1-16	精讲 1-14、1-16；重点 1-4、1-6、1-7、1-8、1-13	压力计题先化绝对压力；温标题列线性关系；功的题看过程方程和 p-v 面积
2	2-1~2-18	精讲 2-18；重点 2-3、2-5、2-9、2-14、2-15、2-16、2-17	充气取罐为开口系；放气取剩余气体；换热器看焓差；喷管看动能
3	3-1~3-21	精讲 3-13；重点 3-2、3-5、3-8、3-10、3-20	先认过程再套表；压气机看级数和余隙；熵变与路径无关
4	4-1~4-21	精讲课件例；重点 4-4、4-6、4-9、4-11、4-16、4-19	判方向算 $\oint\delta Q/T$ 或 $\Delta S_{\text{iso}}$；熵变选可逆路径；㶲损 $=T_0S_g$
5	5-1~5-19	精讲 5-2；重点 5-7、5-8、5-9、5-13	Otto 用 $\varepsilon$；Diesel 用 $\rho$；Brayton 用 $\pi$；回热看 $T_4$ 与 $T_2$
6	6-1~6-10	精讲 6-3；重点 6-1、6-7	查表先判状态；湿蒸汽算干度；定压 $q=\Delta h$，绝热 $w_s=h_1-h_2$
8	8-1~8-11	精讲课件 HFC134a 例；重点 8-5、8-6、8-9	卡诺逆循环先算 COP；空气制冷用 $\pi$；蒸气压缩用 $h$，节流 $h$ 不变
9	课件 9-3、9-6、9-8	精讲 30℃/60% 湿空气	混合气体用分压/分容积；湿空气用 $\phi$、$d$、$h$、露点

几条值得单独记的题：

• 1-15 气球膨胀：压力正比于直径，$p=kD$，$V=\pi D^3/6$，$W=\int p\hspace{0.17em}\mathrm{d}V$；不能直接用 $p\Delta V$。
• 2-3 填表：每行用 $Q=\Delta U+W$，整个循环 $\sum Q=\sum W$，缺的数就能补齐。
• 3-21 余隙容积：余隙不改变单位产气量的理论耗功，但容积效率随余隙比增大而下降；三种多变指数下结论一致。
• 4-11 摩擦定温压缩：无摩擦时气体熵变只由体积比决定；有摩擦时多耗的功变成热，热源熵变和总熵变都要重算。
• 5-15 回热度：回热度 92% 表示实际回热量占理想回热量的 92%，先算理想回热，再乘 0.92。
• 6-8 刚性容器加热：定容过程，$q=\Delta u$；如果容器装满水，温度升高一点压力就会升得很高，工程上不能装满。
• 8-8 制冷剂对比：教材题是比较 R12 和 HFC134a，方法完全一样，只是查的工质表不同；课件例题取的是 HFC134a 的那一组数据。

最后

复习到最后，我把九章的内容压缩成一张 A4 纸：左边是四个问题，右边是每章的公式和一道典型题。考试时不可能现推所有公式，但只要先选对系统、认出工质和过程，剩下的就是查表、代公式、检查符号。

如果这篇笔记只能留下一句话，我会留这一句：先问“系统是什么”，再问“能量从哪进、从哪出”，最后问“这个过程的熵产在哪”。这三问能挡住大部分错误。